世间最纯粹的力量——求根公式

众所周知，求根公式被称为世间最纯粹的力量。当你在求一个一元二次方程时，尝试过配方法（系数过于庞大）、因式分解法（不能分解为两个一次因式的乘积）都失败时，你将会考虑套求根公式。

一元二次方程

求根公式

x = \frac {-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a}

过程

\text{标准形式} \\ ax^{2}+bx+c=0 \quad (a \neq 0) \\ \text{移项，得} \\ ax^{2}+bx=-c \\ \text{二次项系数化为 1，得} \\ x^{2}+ \frac{bx}{a}=- \frac{c}{a} \\ \text{配方，得} \\ x^{2}+\frac{bx}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}=- \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^{2} \\ \text{化简，得} \\ (x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ \text{左右两边同时开根，得} \\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \text{移向，得} \\ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

一元三次方程

求根公式

x = 2\sqrt{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{c^2}{4a^2}} \cos\left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{d}{2a} \sqrt{-\frac{27a^3}{b^3 - \frac{9a^2c}{b} + 27a d}} \right)\right) - \frac{b}{3a}

过程

\text{标准形式：} \\ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (a \neq 0) \\ \text{变量替换，消去二次项：} \\ x = y - \frac{b}{3a} \\ \text{代入原方程并化简得到：} \\ y^3 + py + q = 0 \\ \text{其中：} \\ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} \\ q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \\ \text{当判别式} D = q^2 + \frac{4p^3}{27} < 0 \text{时，使用三角函数代换：} \\ y = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos \theta \\ \text{代入方程并化简后，引入角度} \phi \text{使得：} \\ \cos 3\phi = \frac{-q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \\ \text{解得：} \\ 3\phi = \arccos\left(\frac{-q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \right) \\ \phi = \frac{1}{3} \arccos\left(\frac{-q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \right) \\ \text{求解} y \text{：} \\ y = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos \left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{-q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \right)\right) \\ \text{回到原始变量} x \text{：} \\ x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos \left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{-q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \right)\right) - \frac{b}{3a} \\ \text{代入} p \text{和} q \text{的表达式：} \\ x = 2\sqrt{-\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{c^2}{4a^2}} \cos\left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{d}{2a} \sqrt{-\frac{27a^3}{b^3 - \frac{9a^2c}{b} + 27a d}} \right)\right) - \frac{b}{3a}